Analizując zawarte tu przykłady, przypomnisz sobie podstawowe wzory oraz sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem. Przykład 1. Oblicz długość odcinka A B o końcach w punktach A = - 5, 2 i B = 1, 6. Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych, a odcinek A B
Równanie prostej AB: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(x-1)}\) \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\) Wszystkie proste równoległe do prostej AB opisuje równanie: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+c ,c\in \Re}\) Szukamy takiej prostej, która przechodzi przez punkt P; podstawiając do równania współrzędne P, otrzymujemy \(\displaystyle{ c=2}\). Odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) od punktu A wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}\) Odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) od punktu B wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \sqrt{(x-5)^{2}+(y-2)^{2}}}\) Współrzędne punktu równoodległego od A i B spełniają zatem równanie: \(\displaystyle{ \sqrt{(x-5)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}\) \(\displaystyle{ (x-5)^{2}+(y-2)^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}}\) \(\displaystyle{ 24-8x=4y-4}\) \(\displaystyle{ 6-2x=y-1}\) Szukanym punktem jest punkt, którego współrzędne spełniają układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} 6-2x=y-1 \\ y=\frac{1}{2}x+2 \end{cases}}\) odp. \(\displaystyle{ \left(2,3\right)}\) Sprawdź jeszcze 4 lutego 2009, 17:18 --Zeby sprawdzić, czy trójkąt ABC jest prostokątny, możesz np. obliczyć kwadraty długości jego boków: \(\displaystyle{ |AB|^{2}=32}\) \(\displaystyle{ |BC|^{2}=10}\) \(\displaystyle{ |AC|^{2}=10}\) Skoro \(\displaystyle{ |AB|^{2} \neq |BC|^{2}+|AC|^{2}}\), to trójkąt ABC nie jest prostokątny.
Dane są punkty A=(0,0) i B=(2,6) icanfly: Dane są punkty A=(0,0) i B=(2,6). Symetralna odcinka AB przecina oś OX w punkcie C. Oblicz współrzędne punktu C i
Punkty \(A=(-2,-1)\) i \(B=(2,2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Wysokość tego trójkąta jest równa A.\( 2{,}5 \) B.\( 2\sqrt{3} \) C.\( 5\sqrt{3} \) D.\( 2{,}5\sqrt{3} \) DPole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe A.\( 5 \) B.\( 10 \) C.\( 15 \) D.\( 20 \) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A = (-2,2)\) i \(B = (2,10)\).\(y=-\frac{1}{2}x+6\)Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową \(CD\) trójkąta \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(-2, -1)\), \(B = (6, 1)\), \(C = (7, 10)\).\(y=2x-4\)Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) oraz \(A = (2, 1)\) i \(C = (1, 9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).\(B=\left( \frac{34}{5}, \frac{34}{10} \right)\)Wyznacz współrzędne punktu \(A'\), który jest symetryczny do punktu \(A = (3, 2)\) względem prostej \(y=-\frac{1}{3}x-6\).\(B=\left(-2\frac{4}{10};\ -14\frac{2}{10}\right)\)Punkty \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1,3)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.\(y=4x+\frac{15}{2}\)Punkty \(A=(-1, 2)\) i \(B=(5, -2)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Obwód tego rombu jest równy A.\( \sqrt{13} \) B.\( 13 \) C.\( 676 \) D.\( 8\sqrt{13} \) DPunkty \(A=(-1,-5), B=(3,-1)\) i \(C=(2,4)\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Oblicz pole tego równoległoboku.\(P=24\)Punkty \(A=(-2,4)\) i \(C=(-6,2)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Zatem promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy: A.\( 10 \) B.\( 2 \) C.\( \sqrt{5} \) D.\( \sqrt{10} \) COkrąg o środku w punkcie \( S=(-3,4) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3} \). Oblicz współrzędne punktu styczności. \((1,7)\)Obrazem punktu \( A=(4,-5) \) w symetrii względem osi \( Ox \) jest punkt: A.\((-4,-5) \) B.\((-4,5) \) C.\((4,5) \) D.\((4,-5) \) CPunkt \( C=(0,2) \) jest wierzchołkiem trapezu \( ABCD \), którego podstawa \( AB \) jest zawarta w prostej o równaniu \( y=2x-4 \). Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę \( CD \). A.\(y=\frac{1}{2}x+2 \) B.\(y=-2x+2 \) C.\(y=-\frac{1}{2}x+2 \) D.\(y=2x+2 \) DWierzchołki trapezu \(ABCD\) mają współrzędne: \(A=(-1,-5)\), \(B=(5, 1)\), \(C=(1, 3)\), \(D=(-2, 0)\). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy \(AB\) tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona \(AD\) oraz \(BC\) trapezu \(ABCD\).\((x+3)^2+(y-5)^2=72\)Proste \(l\) i \(k\) przecinają się w punkcie \(A = (0, 4)\). Prosta \(l\) wyznacza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu \(8\), zaś prosta \(k\) – trójkąt o polu \(10\). Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt \(A\) oraz punkty przecięcia prostych \(l\) i \(k\) z osią \(Ox\).\(P=2\); punkty przecięcia, to: \((4;0)\) oraz \((5;0)\)Dane są wierzchołki trójkąta \(ABC\): \(A = (2, 2)\) , \(B = (9, 5)\) i \(C = (3, 9)\). Z wierzchołka \(C\) poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(D\) i równoległej do boku \(BC\).\(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\)W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).\(x=-7\)Punkty \(A = (3, 2)\) i \(C\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\), a punkt \(O = (6,5)\) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Współrzędne punktu \(C\) są równe A.\( (9,8) \) B.\( (15,12) \) C.\( \left(4\frac{1}{2},3\frac{1}{2}\right) \) D.\( (3,3) \) A
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są prosta k o równaniu y=3/4x−7/4 oraz punkt P=(12, −1)Matura poprawkowa - sierpień 2023. Zadanie 25-----
Dane są punkty A(-9,0), B(3,-6), C(2,2), D(-2,4) aly: Dane są punkty A(−9,0), B(3,−6), C(2,2), D(−2,4) a) wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym b) wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu 4 lis 19:31 Jolanta: jeżeli jest równoramienny to przekatne mają takie same wzoru na długość odcinka wylicz AC i BD 4 lis 20:22 aly: Prosiłabym o pomoc w b), a mianowicie z jakich współrzędnych należy wyznaczyć S? 4 lis 21:41 aly: S wyznaczyłam z A i B. Gdzie natomiast będzie ta oś symetrii? Pionowo czy poziomo? 4 lis 21:45 4 lis 22:00
Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że. Dane są punkty A = (0, 2) oraz B = (2, 1). Wyznacz równanie prostej AB. Dane są punkty A = (6, 1) i B = (3, 3). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy. Do wykresu funkcji liniowej należą punkty A = (1, 2) i B = (−2, 5).
malinka1990 Użytkownik Posty: 22 Rejestracja: 23 wrz 2009, o 22:51 Płeć: Kobieta Lokalizacja: olesno Podziękował: 3 razy Dsane są punkty... Dane są punkty A=(1, 1), B=(3, 4). Współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AB jest równe?? bartek118 Użytkownik Posty: 5974 Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 15 razy Pomógł: 1251 razy Dsane są punkty... Post autor: bartek118 » 30 mar 2010, o 20:32 Prosta \(\displaystyle{ AB}\) ma współczynnik kierunkowy równy \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) \(\displaystyle{ y=ax+b}\) \(\displaystyle{ 1=a+b}\) \(\displaystyle{ 4=3a+b}\) \(\displaystyle{ 3=2a}\) \(\displaystyle{ a= \frac{3}{2}}\) Symetralna jest prostopadła, więc jej współczynnik, to \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\)
Gimnazjum. verified. rozwiązane • sprawdzone przez eksperta. Dane są punkty A= (1,0) i B= (4,4). Odcinek AB ma długość.
Gdy dane są punkty \(A = (x_A, y_A)\) i \(B = (x_B, y_B)\), to równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty wyraża się wzorem: \[(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0\] lub zapisane w postaci kierunkowej: \[y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}x+\left (y_A-\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\cdot x_A\right )\] Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty można również wyznaczyć rozwiązując układ równań. Metoda wyznaczania równania prostej przechodzącej przez dwa punkty z układu równań Załóżmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A=(5,6)\) oraz \(B=(7,11)\). Zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej: \[y=ax+b\] Podstawiamy do tego równania współrzędne punktu \(A\): \[6=a\cdot 5+b\] oraz punktu \(B\): \[11=a\cdot 7+b\] W ten sposób otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi \(a\) oraz \(b\): \begin{cases} 6=5a+b \\ 11=7a+b \end{cases} Rozwiązujemy powyższy układ równań, np. odejmując równania stronami: \[\begin{split} 6-11&=5a-7a\\[6pt] -5&=-2a\\[6pt] a&=\frac{5}{2} \end{split}\] Zatem np. z pierwszego równania: \[b=6-5a=6-5\cdot \frac{5}{2}=\frac{12}{2}-\frac{25}{2}=-\frac{13}{2}\] Czyli ostatecznie szukane równanie prostej jest postaci: \[y=\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}\]
Aby obliczyć współrzędne naszego wektora a → = A B → wystarczy naszkicować sobie jego składowe i określić ich długość, a znak przyjąć zgodny ze zwrotem osi. Tu składowa x ma 5 jednostek, jest zwrócona przeciwnie do osi O X, a składowa y ma również 5 jednostek, a jej zwrot jest zgodny z osią O Y. Stąd nasz wektor ma
Dane są punkty A=(0,1), B=(3,4). Napisz równanie symetralnej odcinka AB.
8Q8eCQ. 389 104 247 16 459 6 443 344 142
dane są punkty a 4 0
